电磁学笔记

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数学部分

  • 以下内容默认在右手直角坐标系中
  • 单位向量为 (ex, ey, ez)(e_x, \ e_y, \ e_z)
  • 以下形如 ff 为 R3↦R\mathbb{R^3} \mapsto \mathbb{R} 的函数，记录直角坐标系空间一点的值，代表标量场
  • 以下形如 n⃗\vec{n} 或 A⃗\vec{A} 为 R3↦R3\mathbb{R^3} \mapsto \mathbb{R^3} 的函数，代表一个向量场

向量运算

  • 标量积、点乘，强调结果为标量
  • 向量积、叉乘，强调结果为向量，此向量法向于两运算数向量所成平面

多元微分运算

梯度

  • ∇⃗f(M)\vec{\nabla} f(M)
  • grad⁡ f(M)\operatorname{grad} \ f(M)

给出空间一点 MM 的导数，R↦R3\mathbb{R} \mapsto \mathbb{R^3}，方向从“低”到“高”

散度

  • ∇⃗⋅A⃗(M)\vec{\nabla} \cdot \vec{A}(M)
  • div⁡ A⃗(M)\operatorname{div} \ \vec{A}(M)

给出空间一点 MM 周边向量发散的程度，R3↦R\mathbb{R^3} \mapsto \mathbb{R}，“发出”为正，“吸入”为负

旋度

  • ∇⃗×A⃗(M)\vec{\nabla} \times \vec{A}(M)
  • rot⁡ A⃗(M)\operatorname{rot} \ \vec{A}(M)
  • curl⁡ A⃗(M)\operatorname{curl} \ \vec{A}(M)

给出空间一点 MM 周边向量绕其旋转的程度，R3↦R3\mathbb{R^3} \mapsto \mathbb{R^3}，右手螺旋确定方向

拉普拉斯算子

  • △f(M)\bigtriangleup f(M)
  • ∇⃗2f(M)\vec{\nabla}^2 f(M)
  • ∇⃗⋅∇⃗f(M)\vec{\nabla} \cdot \vec{\nabla} f(M)
  • div⁡(grad⁡ f(M))\operatorname{div}(\operatorname{grad} \ f(M))
  • △A⃗(M)\bigtriangleup \vec{A}(M)

给出空间一点与周边值的平均值的差异

物体形状

  • ∂V\partial V 代表体积 VV 的表面 SS，此面一定闭合
  • ∂S\partial S 代表面积 SS 的外边 Γ\Gamma，此边一定闭合

公式

  • 高斯散度定理：\oiint∂VJ⃗⋅n⃗d⁡S≈∭Vdiv⁡J⃗d⁡V\oiint \limits_{\partial V} \vec{J} \cdot \vec{n} \operatorname{d} S \approx \iiint \limits_{V} \operatorname{div} \vec{J} \operatorname{d} V
  • 斯托克斯定理：∮∂SE⃗⋅l⃗d⁡Γ≈∬Srot⁡E⃗⋅n⃗d⁡S\oint \limits_{\partial S} \vec{E} \cdot \vec{l} \operatorname{d} \Gamma \approx \iint \limits_{S} \operatorname{rot} \vec{E} \cdot \vec{n} \operatorname{d} S

以上：

  • J⃗\vec{J}、E⃗\vec{E} 是两个向量场
  • 其中 n⃗\vec{n} 为是体积 VV 的表面 S=∂VS = \partial V 上的外向的单位法向量
  • 其中 l⃗\vec{l} 为是表面 SS 外边 Γ=∂S\Gamma = \partial S 上的单位线向量
  • \oiint\oiint、∮\oint 强调闭合

真空中的电磁学

真空中的麦克斯韦方程组

div⁡ E⃗=ρε0\operatorname{div} \ \vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}

div⁡ B⃗=0\operatorname{div} \ \vec{B} = 0

rot⁡ E⃗=−∂B⃗∂t\operatorname{rot} \ \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}

rot⁡ B⃗=μ0(J⃗+ε0∂E⃗∂t)\operatorname{rot} \ \vec{B} = \mu_0 \left(\vec{J} + \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \right)

  • E⃗\vec{E} 为电场强度（单位 V/mV / m）
  • B⃗\vec{B} 为磁通量密度（单位 TT）
  • ρ\rho 为电荷密度（C/m3C / m^3）
  • J⃗\vec{J} 为电流密度（A/m2A / m^2），表示单位截面的电流；同时 J⃗=ρv⃗\vec{J} = \rho \vec{v}，其中 v⃗\vec{v} 为电荷的速度
  • ε0\varepsilon_0 为真空电容率，又称电常数（F/mF / m）
  • μ0\mu_0 为真空磁导率，又称磁常数（T⋅m/AT · m / A）

这四个方程分别揭示：

  1. 电荷累计形成电场
  2. 磁场线永远闭合
  3. 变磁场生电
  4. 电流或变电场会生磁

磁势

对于（一定）满足无散场条件 div⁡B⃗=0\operatorname{div} \vec{B} = 0 的 BB 磁场，有：

rot⁡ A⃗=B⃗\operatorname{rot} \ \vec{A} = \vec{B}

A⃗\vec{A} 被定义为磁势，是一个类似电势的概念

另由 亥姆霍兹分解 可由磁场求得磁势：

A⃗(r⃗)=14π∫VB⃗(r⃗′)×r⃗−r⃗′∣r⃗−r⃗′∣3d⁡V\vec{A}(\vec{r}) = \frac{1}{4\pi} \int_{V} \vec{B}(\vec{r}') \times \frac{\vec{r}-\vec{r}'}{|\vec{r}-\vec{r}'|^3} \operatorname{d}V

  • r⃗\vec{r} 为坐标原点到被测点的向量
  • r⃗′\vec{r}' 为坐标原点到磁场 B⃗\vec{B} 中一点的向量
  • VV 为磁场的体积，可换元至 r⃗′\vec{r}'

来源

或者可以构造磁场势：

e.g. 一个匀强磁场的磁势

B⃗=[BxByBz]  ⟹  A⃗=12[0+z−y−z0x+y−x0]B⃗\vec{B} = \begin{bmatrix} B_x \\ B_y \\ B_z \end{bmatrix} \implies \vec{A} = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 0 & +z & -y \\ -z & 0 & x \\ +y & -x & 0 \end{bmatrix} \vec{B}

注意这个 AA 不一定正确

来源

洛伦兹力

在磁场中运动的电荷所受到的力

F⃗=J⃗×B⃗\vec{F} = \vec{J} \times \vec{B}

可由右手拇指、食指、中指指向电、磁、力的方向确定

洛伦兹力往往会使有单向电流的闭合回路尝试扩大

坡印廷定理

略

介质中的电磁学

介质中不再像真空中有着可以自由移动的电荷

介质的性质

电荷现在受到了原子核的影响，我们转而研究原子中的 自由电荷 和 束缚电荷

ρ=ρfree+ρbound\rho = \rho_{free} + \rho_{bound}

J⃗=J⃗free+J⃗bound\vec{J} = \vec{J}_{free} + \vec{J}_{bound}

自由电荷可以轻易离开原子核的束缚参与电流的形成；束缚电荷则不会轻易离开，但它们的位置与运动仍会影响介质的电磁性质

电极化

介质中的束缚电荷发生位移，这种现象称为极化

P⃗ = ε0χeE⃗\vec{P} \ = \ \varepsilon_0 \chi_e \vec{E}

ρbound=−div⁡ P⃗\rho_{bound} = -\operatorname{div} \ \vec{P}

P⃗\vec{P} 为电极化强度，其中 χe\chi_e 为电极化率

电位移

D⃗ = ε0E⃗+P⃗=ε0εrE⃗\vec{D} \ =\ \varepsilon_{0} \vec{E} + \vec{P} = \varepsilon_{0} \varepsilon_{r} \vec{E}

因为介质被极化，为了更好地描述其内的电场情况，我们引入电位移 D⃗\vec{D}

其中 εr\varepsilon_{r} 为这种介质的相对电容率

磁极化 与 磁场强度

M⃗ = χmH⃗\vec{M} \ =\ \chi_m \vec{H}

B⃗ = μ0(H⃗+M⃗)=μ0μrH⃗\vec{B} \ =\ \mu_0 ( \vec{H} + \vec{M} ) = \mu_0 \mu_r \vec{H}

J⃗bound=rot⁡ M⃗+∂P⃗∂t\vec{J}_{bound} = \operatorname{rot} \ \vec{M} + \frac{\partial \vec{P}}{\partial t}

由于介质内的电荷运动产生了电流，我们因此引入磁场强度 H⃗\vec{H} 来描述因此电流产生的磁场

M⃗\vec{M} 即磁化强度，即此介质对于 H⃗\vec{H} 的响应而额外产生的磁场，其中 χm\chi_m 为磁极化率，

而 B⃗\vec{B} 则是包含了 H⃗\vec{H}、M⃗\vec{M} 二者，其中 μr\mu_{r} 为这种介质的相对磁导率

现实情况

当然，以上的DD场对EE场、BB场对HH场并不总是线性的：εr\varepsilon_{r}是关于EE的函数，而μr\mu_{r}是关于HH的函数；
B场与H场之间甚至因此存在 迟滞现象 ……

介质中的麦克斯韦方程组

div⁡ D⃗=ρfree\operatorname{div} \ \vec{D} = \rho_{free}

div⁡ B⃗=0\operatorname{div} \ \vec{B} = 0

rot⁡ E⃗=−∂B⃗∂t\operatorname{rot} \ \vec{E} = - \frac{\partial \vec{B}} {\partial t}

rot⁡ H⃗=J⃗free+∂D⃗∂t\operatorname{rot} \ \vec{H} = \vec{J}_{free} + \frac{\partial \vec{D}} {\partial t}

两介质间边界上的麦克斯韦方程组

在两种介质的边界上，由于微分失效，我们选取边界上的极小体积（以圆柱为例），对麦克斯韦方程组两侧积分处理：

(D2⃗−D1⃗)⋅n⃗=QS=σsurface(\vec{D_2} - \vec{D_1}) \cdot \vec{n} = \frac{Q}{S} = \sigma_{surface}

(B2⃗−B1⃗)⋅n⃗=0(\vec{B_2} - \vec{B_1}) \cdot \vec{n} = 0

(E2⃗−E1⃗)×n⃗=0⃗(\vec{E_2} - \vec{E_1}) \times \vec{n} = \vec{0}

(H2⃗−H1⃗)×n⃗=0⃗(\vec{H_2} - \vec{H_1}) \times \vec{n} = \vec{0}

下标的11、22代表两不同介质；
SS 为选取圆柱的截面积，
n⃗\vec{n} 为截面的法向量；
QQ 为 ρ\rho 的积分，即电荷量（单位 CC）

电气工程中的电磁学

电气工程中多低频，也没有大量运动的电荷：

  • 导体内：ρ=0\rho = 0，D⃗=0\vec{D} = 0
  • 介质内：J⃗=0\vec{J} = 0

电磁学中的导体

导体内主要是自由电荷，有：

rot⁡ H⃗=J⃗  ⟹  div⁡ J⃗=0\operatorname{rot} \ \vec{H} = \vec{J} \implies \operatorname{div} \ \vec{J} = 0

rot⁡ E⃗=0  ⟹  E⃗=−grad⁡ V\operatorname{rot} \ \vec{E} = 0 \implies \vec{E} = - \operatorname{grad} \ V

J⃗=σE⃗\vec{J} = \sigma \vec{E}

VV 即为电势（标量），σ\sigma 是导体的电导率

电流

电流是单位时间通过导体截面的电荷量

I=QtI = \frac{Q}{t}

  • QQ 为电荷量，tt 为时间

另有：

I=∬SJ⃗⋅n⃗d⁡SI = \iint \limits_{S} \vec{J} \cdot \vec{n} \operatorname{d} S

  • n⃗\vec{n} 是表面 SS 的外向法向量

电压

电压是导体内定向流动的电场

U=∮ΓE⃗⋅ dΓ⃗U = \oint \limits_{\Gamma} \vec{E} \cdot \ d\vec{\Gamma}

  • E⃗\vec{E} 为电场强度

真空中的静磁学

在磁场处于稳态的真空系统内有：

rot⁡ H⃗0=J⃗\operatorname{rot} \ \vec{H}_0 = \vec{J}

div⁡ B⃗0=0\operatorname{div} \ \vec{B}_0 = 0

B0⃗=μ0H⃗0\vec{B_0} = \mu_0 \vec{H}_0

毕奥-萨伐尔定律

描述真空内电流如何产生磁场：

B⃗(r⃗)=μ04π∭VJ⃗(r⃗′)×r⃗−r⃗′∣r⃗−r⃗′∣3 d⁡V\vec{B}(\vec{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi} \iiint \limits_{V} \vec{J}(\vec{r}') \times \frac{\vec{r} - \vec{r}'}{|\vec{r} - \vec{r}'|^3} \ \operatorname{d} V

BB 的方向满足 右手螺旋定则

A⃗(r⃗)=μ04π∭VJ⃗(r⃗′)∣r⃗−r⃗′∣ d⁡V\vec{A}(\vec{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi} \iiint \limits_{V} \frac{\vec{J}(\vec{r}')}{|\vec{r} - \vec{r}'|} \ \operatorname{d} V

AA 与电流密度作用的总和同向

  • r⃗\vec{r} 为坐标原点到被测点的向量
  • r⃗′\vec{r}' 为坐标原点到电流密度 J⃗(r⃗′)\vec{J}(\vec{r}') 所在点的向量
  • VV 为流过电流的体积，可换元至 r⃗′\vec{r}'

来源

根据电流与电流密度的关系，我们也可以将以上公式以电流表示

常见案例

来源

  1. 无限长、细直电流旁，距离 rr 的地方：

    B(r)=μ0I2π1rB(r) = \frac{\mu_0 I}{2 \pi} \frac{1}{r}

    BB 的方向由 右手螺旋定则 确定

    可以构造：

    A(r)=−μ0I2πln⁡rA(r) = - \frac{\mu_0 I}{2 \pi} \ln{r}

    AA 与电流 II 平行，注意这个 AA 不一定正确

  2. 无限长、半径为 RR 的圆柱体电流旁，距离其轴线 rr 的地方：

    • 在电流外，r>Rr > R：

      由 安培环路定律 可知，此情况下圆柱体电流等效于无限长细直电流

    • 在电流内，r<Rr < R：

      B(r)=μ0I2πR2rB(r) = \frac{\mu_0 I}{2 \pi R^2} r

      BB 的方向由 右手螺旋定则 确定

      可以构造

      A(r)=−μ0I4πR2r2A(r) = - \frac{\mu_0 I}{4 \pi R^2} r^2

      AA 与电流 II 平行，注意这个 AA 不一定正确

静磁学

在磁场处于稳态的系统内、且存在介质时，有：

rot⁡ H⃗=J⃗\operatorname{rot} \ \vec{H} = \vec{J}

div⁡ B⃗=0\operatorname{div} \ \vec{B} = 0

B⃗=μ0μrH⃗\vec{B} = \mu_0 \mu_r \vec{H}

H⃗=H⃗0+H⃗cor\vec{H} = \vec{H}_0 + \vec{H}_{cor}

由向量势的计算方法，更有：

rot⁡ H⃗cor=0  ⟹  H⃗cor=−grad⁡ ϕ⃗\operatorname{rot} \ \vec{H}_{cor} = 0 \implies \vec{H}_{cor} = - \operatorname{grad} \ \vec{\phi}

div⁡ B⃗=0  ⟹  div⁡(−μ grad⁡ ϕ⃗)=div⁡(−μH⃗0)\operatorname{div} \ \vec{B} = 0 \implies \operatorname{div} (- \mu\ \operatorname{grad} \ \vec{\phi}) = \operatorname{div} (- \mu \vec{H}_0)

H⃗cor\vec{H}_{cor} 为介质矫顽力（介质更不容易退磁的特性）产生的；ϕ⃗\vec{\phi} 为矫顽磁场的矫顽磁势

与电流、电压等电学概念做对比

电 磁
Current Flux
J⃗\vec{J} B⃗\vec{B}
I=∬SJ⃗⋅n⃗d⁡SI = \iint \limits_S \vec{J} \cdot \vec{n} \operatorname{d} S Φ=∬SB⃗⋅n⃗d⁡S\Phi = \iint \limits_S \vec{B} \cdot \vec{n} \operatorname{d} S
U=∮ΓE⃗⋅l⃗d⁡ΓU = \oint \limits_\Gamma \vec{E} \cdot \vec{l} \operatorname{d}\Gamma F=∮ΓH⃗⋅⁡l⃗ dΓ\mathbb{F} = \oint \limits_\Gamma \vec{H} \operatorname \cdot \vec{l} \ {d}\Gamma

Φ\Phi 为磁通量（磁感线的数量）；F\mathbb{F} 为磁动势

既然有电路图，就有磁路图，基尔霍夫的各项定律也基本适用

我们也常会谈到 磁链，电磁学中通常将其看作磁通量的组合：(Ψ=NΦ\Psi = N \Phi)

静电学

静电学研究电荷静止时的状态，有：

rot⁡ E⃗=0\operatorname{rot} \ \vec{E} = 0

div⁡ D⃗=0\operatorname{div} \ \vec{D} = 0

D⃗=εE⃗\vec{D} = \varepsilon \vec{E}

更有：

rot⁡ E⃗=0  ⟹  E⃗=−grad⁡ V\operatorname{rot} \ \vec{E} = 0 \implies \vec{E} = - \operatorname{grad} \ V

div⁡ D⃗=0  ⟹  div⁡ (−εgrad⁡V)=ε△V=0\operatorname{div} \ \vec{D} = 0 \implies \operatorname{div} \ (- \varepsilon \operatorname{grad} V) = \varepsilon \bigtriangleup V= 0

ε\varepsilon 为该介质的电容率

暂态磁场时的情况

因磁场处于暂态，有：

rot⁡ E⃗=−∂B⃗∂t\operatorname{rot} \ \vec{E} = - \frac{\partial \vec{B}} {\partial t}

因：

B⃗=rot⁡ A⃗\vec{B} = \operatorname{rot} \ \vec{A}

故有：

E⃗=−grad⁡ V−∂A⃗∂t\vec{E} = - \operatorname{grad} \ V - \frac{\partial \vec{A}} {\partial t}

−grad⁡ V- \operatorname{grad} \ V 来自静电场的，−∂A⃗∂t- \frac{\partial \vec{A}} {\partial t} 来自动磁场

傅科电流

rot⁡E⃗=−∂B⃗∂t\operatorname{rot} \vec{E} = - \frac{\partial \vec{B}} {\partial t} 中的 E⃗\vec{E} 绕 B⃗\vec{B} 旋转。在导体中产生的涡电流往往使导体发热严重，故通常将导体片成分层结构

集肤效应

变电流产生的变磁场也会产生傅科电流，其反过来作用到电流上，使电流贴近导体的外部，故常使用空心导体

“肤厚”：

δ=1πfμσ\delta ={\frac {1}{\sqrt {\pi f\mu \sigma }}}

宏观表现

回路内变磁场在线圈两端产生的电压 E=−∂Φ∂t\mathcal{E} = - \frac{\partial \Phi}{\partial t}，其方向符合楞次定律（尝试反抗磁场变化）

其他

  • 压电效应
  • 磁热效应（magnetocaloric）
  • 磁致伸缩效应